Il Valorizzazione Di Esecutivi Stock Options In Un Intensità Based Quadro

La valutazione delle esecutiva Stock Options in un'intensità-Based quadro Trascrizione 1 Rivista Europea di Finanza 4. Kluwer Academic Publishers. Stampato nei Paesi Bassi. 211 La valutazione delle esecutiva Stock Options in un Intensity-Based quadro PETER CARR 1 e Vadim Linetsky 2 1 Banc of America Securities, azionari Financial Products, 9 West 57th street, 4 ° piano, New York, NY Dipartimento di Ingegneria Industriale e Studi Aziendali, McCormick Facoltà di Ingegneria e Scienze applicate, Northwestern University, 2145 Sheridan Road, Evanston, IL astratta. Questo documento presenta un quadro di intensità a base generale di valutare le stock option esecutivi (OEN). Esso si basa sui recenti progressi nella modellazione nell'arena del rischio di credito. L'esercizio anticipato o decadenza a causa di cessazione del lavoro volontaria o involontaria e l'esercizio anticipato a causa di desiderio esecutivo s per la liquidità o di diversificazione sono modellati come un processo esogeno punto con intensità casuale dipende dal prezzo delle azioni. Due specifiche analiticamente trattabili sono date in cui il valore di ESO, orario previsto di esercizio o di decadenza, e il prezzo delle azioni previsto al momento dell'esercizio o decadenza sono calcolate in forma chiusa. Parole chiave: area browniano, esercizio anticipato, le stock option esecutivi, formula di Feynman-Kac, decadenza, trasformata di Laplace, il tempo di occupazione, processi di punto con intensità casuale. Classificazione JEL: G13, G39, le stock option M Introduzione esecutivo (OEN) attualmente costituiscono una frazione considerevole di molte imprese totale spese di compensazione. E 'importante valutare con precisione il costo di queste opzioni per gli azionisti, sia ai fini contabili e da un punto di vista di controllo gestionale (vedi Carpenter 1998 Foster et al. 1991 Jennergren e Naslund, 1993). Dal 1995, il Financial Accounting Standards Board (FASB) SFAS 123 ha ordinato che una stima del costo delle sovvenzioni ESO comunicate in una nota in calce. Anche se non è necessario, il metodo di valutazione consigliato è quello di utilizzare la formula di Black Scholes europeo dei prezzi delle chiamate. La maturità suggerito utilizzato in questa formula è la vita prevista, anche se la durata massima (tipicamente 1 anni alla borsa) possono anche essere utilizzati. Rubinstein (1995) sostiene sul piano teorico che entrambi i metodi tenderà a causare sopravvalutazione. Allo stesso modo, Marquardt (1999) empir - Siamo grati per l'assistenza di calcolo da Dmitry Davydov e per i commenti da Jim Bodurtha, Menachem Brenner, Jennifer Carpenter, Bill Margrabe, e Carol Marqurdt. Essi non sono responsabili per eventuali errori. 2 212 PETER CARR e Vadim Linetsky determina camente che entrambi i metodi sopravvalutano il costo economico agli azionisti di emissione OEN. OEN sono in genere molto datato chiamate americane che differiscono dalle opzioni standard in quanto hanno un periodo di maturazione iniziale durante il quale l'esercizio è proscritto. Anche se è facile determinare numericamente il valore e la politica di esercizio ottimale per OEN in un mercato privo di attrito, alcuni attriti istituzionali complicano la determinazione della politica di esercizio ottimale per OEN. In primo luogo, il titolare di una ESO non può vendere o trasferire la sua opzione. Inoltre, il titolare non può coprire la sua chiamata da posizioni corte in azienda s magazzino sono proibiti. Al contrario, l'emittente è autorizzato a trasferire la loro responsabilità o coprire il loro obbligo. In generale, questa asimmetria un cuneo tra il valore del destinatario e il valore per l'emittente. Entrambi i valori sono influenzati dalla politica esercizio utilizzato da dirigenti, che è, in generale, determinato sia dalle informazioni disponibili al pubblico, come i prezzi delle azioni e da informazioni specifiche esecutivo quali la composizione del portafoglio personale, l'avversione al rischio, e la domanda l'esecutivo s per la liquidità. La politica di esercizio ottimale impiegato dal dirigente non deve corrisponde alla politica di esercizio ottimale prevalente in assenza di questi attriti dall'inizio dell'esercizio precoce può essere ottimale per motivi di diversificazione o di liquidità, anche se il titolo sottostante non paga dividendi. Una seconda ragione per la quale la politica esercizio ottimale l'esecutivo s può deviare dalla politica perfetta mercati è che l'esecutivo possa lasciare l'azienda volontariamente o involontariamente, mentre l'opzione è vivo. In questo caso, l'esecutivo perde le sue opzioni se sono out-of-the-money, e dovranno esercitare in anticipo se sono in-the-money. Due approcci generali sono state adottate per modellare le decisioni esecutive di esercizio e valorizzando il costo della OEN per l'impresa. Nel primo approccio, si parte dal presupposto che l'esecutivo esercita l'opzione secondo una politica che massimizza la sua utilità attesa soggette a restrizioni di copertura (Huddart 1994 Marcus e Kulatilaka 1994 Detemple e Sundaresan, 1998). In questo approccio, si deve modellare esplicitamente tali variabili non osservabili come l'esecutivo s avversione al rischio, la sua ricchezza al di fuori, e il guadagno potenziale di cambiare il suo lavoro. Nel approccio alternativo, uno modelli di esercizio anticipato come esogeno tempo di arresto, per esempio la prima volta salto di qualche esogena processo di Poisson, come in Jennergren e Naslund (1993). Il processo di Poisson funge da proxy per tutto ciò che fa sì che l'esecutivo di esercitare l'opzione in anticipo, tra cui il desiderio di diversificazione o di liquidità, e la cessazione volontaria o involontaria di occupazione. In contrasto con l'approccio maximation utility, il tasso di rischio o intensità di questo processo di Poisson esogeno è l'unico parametro nel modello che deve essere stimata dai dati empirici. In un recente documento interessante, Carpenter (1998) mostra che questo modello di intensità a base di forma secondo ridotta funziona come o meglio del più complicato modello strutturale in prove empiriche del due concorrenti modelli di valutazione ESO nel predire modelli di esercizio effettive per un campione di 4 imprese. Questa dicotomia nel modellare l'esecutivo s decisione esercizio parallelo alla modellazione di eventi di default previsti nella valutazione del credito rischioso debito societario. Le stock option 3 dirigente in un'intensità BASATI SU QUADRO 213 letteratura sul debito rischioso di credito dei prezzi possono essere suddivisi in due classi: modelli strutturali e modelli di intensità a base di forma ridotta. La prima classe di modelli, che risale al Black e Scholes (1973) e Merton (1974), modelli l'evento predefinito strutturalmente come una decisione massimizzazione dell'utilità dagli azionisti (vedi Leland (1994) e Leland e Toft (1996)). La seconda classe di modelli sono modelli che esogena specificano predefinito come si verificano la prima volta salto di un processo di punto con intensità casuale (tasso di rischio di default) in forma ridotta (vedi Duffie et al., 1996 Duffie e Singleton 1998 Jarrow e Turnbull 1995 Jarrow et al., 1996 Lando 1998 Madan e Unal, 1996, 1998). Davydov et al. (1998) di credito del valore del debito rischioso nel quadro di intensità a base di uisng un approccio simile al nostro. In tutti questi modelli, l'intensità del processo di punto è tarato a dati empirici. A causa della relativa semplicità di taratura e verifica empirica, la filosofia di modellazione forma ridotta sta guadagnando una notevole popolarità nei mercati del credito. Il contributo di questo lavoro è duplice. In primo luogo, abbiamo sviluppato un quadro di intensità a base stocastica generale per la valutazione delle OEN in cui l'esercizio anticipato o l'intensità di decadenza h t h (s t, t) dipende dal prezzo del titolo sottostante e il tempo. In secondo luogo, vi suggeriamo due semplici specifiche analiticamente trattabili di pericolo ratebased modelli di OEN. Nel primo esempio, l'intensità è specificato come segue (supponendo che l'ESO è acquisito): HT lambda f lambda e 1, (1) dove S t è il prezzo del titolo sottostante, K è il ESO s prezzo di esercizio, lambda f è la costante l'intensità di esercizio anticipato o decadenza a causa della cessazione esogena volontaria o involontaria di occupazione (assunto indipendentemente dal prezzo delle azioni), e lambda e 1 è l'intensità costante del primo esercizio a causa del dirigente s desiderio esogena per la liquidità o la diversificazione assunto positivo e costante se la ESO è in-the-money e zero altrimenti (1 a è la funzione di indicatore della manifestazione a e in lambda e si distingue per l'esercizio). Così, l'intensità di decadenza quando lo stock è out-of-the-money è lambda f (f sta per decadenza), mentre l'intensità totale di esercizio anticipato, quando l'opzione è in-the-money è lambda f lambda e. Il pericolo integrato dipende linearmente il tempo di occupazione del titolo sottostante sopra lo sciopero K (cioè quando l'ESO è in-the-money) e il corrispondente modello di valutazione ESO si basa su alcuni recenti risultati sul derivate temporali occupazione (vedi Akahori 1995 Chesney et al., 1997 Dassios 1995 Davydov e Linetsky 1998 Embrechts et al., 1995 Hugonnier 1998 Linetsky, 1998, 1999 Pechtl, 1995, 1998). Nel secondo esempio analiticamente trattabili, l'intensità è specificato come segue (supponendo che l'ESO è acquisito): h t lambda f lambda e (ln S t ln K). (2) 4 214 PETER CARR e Vadim Linetsky In questo caso, il primo termine a causa di terminazione è ancora indipendente dal prezzo delle azioni, 1 ma il secondo termine a causa del desiderio di liquidità o di diversificazione è ora un funzione monotona crescente del sottostante prezzo delle azioni se l'ESO è in-the-money e zero altrimenti (x: x1 denota la parte positiva di x). Il pericolo integrato dipende linearmente sulla zona cosiddetta browniano e il corrispondente modello di valutazione ESO si basa sui risultati di Davydov, Linetsky e Lotz (1998) sulle opzioni dell'area. Il resto di questo documento è organizzato come segue. Nella sezione 2, consideriamo un quadro di intensità a base stocastica generale per la valutazione delle OEN. Nella sezione 3, risolviamo il modello con la specifica intensità di cui al (1). Nella sezione 4, risolviamo il modello con la specifica intensità (2). Esempi numerici sono riportati nella Sezione 5. Sezione 6 conclude il documento. 2. Intensità-Based generale Formulazione Assumiamo mercati attrito, nessun dividendo, un costante tasso privo di rischio r, e che il prezzo del titolo sottostante obbedisce alla seguente processo di diffusione sotto la misura di probabilità riskneutral D: ds t rs t dt sigma (st, t ) st dw Q t, t gt, SS, dove Wt Q è un moto browniano standard, il processo inizia in SS al tempo t, e la funzione di volatilità locale sigma (s, t) è considerato continuo e strettamente positivo per tutti S ,) e delimitata da S (per ogni t). Il tempo di esercizio anticipato o decadenza T può essere pensato come la prima volta salto di un processo di punto con intensità casuale (hazard rate) h t, che è generalmente una funzione del tempo e prezzo del titolo sottostante, h t h (s t, t). Quindi la probabilità sotto Q di non esercizio anticipato fino al tempo t per un determinato percorso di prezzo delle azioni è (vedi Bremaud (198) e Lando (1998) per i dettagli su processi di punto con intensità casuale): e Q (T GTT) ETH (su , u) du, (3) Q (T GTT) EQ, S ETH (su, u) du, dove l'attesa è per quanto riguarda la misura Q. risk-neutral lasciando t essere la data di assegnazione ESO e tv, t essere la data di maturazione ESO, il valore al tempo t, T di un ESO unexercised con prezzo di esercizio K e scadenza T è dato dalla aspettativa neutrale al rischio: 1 In generale, si potrebbe anche fare la funzione lambda Fa intensità decadenza del sostenendo prezzo delle azioni che l'esecutivo è più probabile che a lasciare l'azienda quando il prezzo dell'azione è basso rispetto al prezzo di esercizio dei suoi OEN. Per semplicità supponiamo che lambda f è costante. 5 STOCK OPTION EXECUTIVE in un quadro INTENSITA 'A BASE 215 C (S, t K, T) er (tt) EQ T, S 1 (STK) EQ t, ser (tt) 1 (STK), (4) dove T è una volta assunto per la prima volta salto del processo di punto con HT intensità arresto, e il pedice T, S nell'operatore aspettativa e t, s significa che il prezzo del titolo è S al tempo t. Si noti che, a seguito di Jennergren e Naslund (1993), si assume che il rischio salto è non-prezzo, vale a dire che può essere diversificato via mediante l'emissione di un portafoglio diversificato di OEN. Dal momento che molte aziende emettere più OEN 2, consideriamo questo come un presupposto ragionevole nella pratica. Il primo termine sul lato destro dell'equazione (4) è il valore attuale dell'opzione payoff a scadenza dato alcun esercizio anticipato. Il secondo termine è il valore attuale del payoff al momento di esercizio, dato che l'opzione sia esercitata in anticipo. Questa decomposizione di valore è analoga a una decomposizione di valore derivante per correlata alle insolvenze. Il primo termine a (4) è analogo al valore attuale del pagamento promesso subordinato alcun valore predefinito, mentre il secondo termine è il valore attuale del pagamento di recupero pagato al momento del default in caso di default prima della scadenza. A causa della relazione di chiave (3), l'attesa può essere riscritta nella forma: i C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s max (tv, t) er (ut) EQ t , sthu du (STK) euths ds hu (S u K) du. Per il teorema di Feynman-Kac (si veda, ad esempio, Karatzas e Shreve (1992)), il valore ESO C (S, t K, T) al tempo t, t lt T, è la soluzione unica al problema di Cauchy per la PDE: 1 2 sigma 2 (S, t) s 2 2 CS rs C 2 S rc h (s, t) 1 (SK) CC t a condizione terminale, (5) C (S, TK, T) (SK) . (6) Il significato finanziaria del penultimo termine sul lato sinistro mano dell'equazione (5) è che su un periodo di tempo infinitesimo dt, vi è una probabilità dt ht del esecutivo esercitare la sua opzione e ricezione (S t K ) in cambio se l'ESO è investito (t GTT v) e niente altro (l'opzione viene incamerata). Oltre al valore di ESO, ci interessa il tempo previsto di esercizio o decadenza (la maturità ESO previsto) anche: T TE P, S 1 EP, S 1 T, (7) 2 Ad esempio, Marquardt (1999) esamina 58 Fortune 1 attività per un periodo di 21 anni e trova una media di 17 borse di studio per impresa. 6 216 PETER CARR e Vadim Linetsky e il prezzo del titolo previsto al momento dell'esercizio o decadenza: S T E P, S 1 S T E P, S 1 S T. (8) Si noti che, in contrasto con il calcolo del valore ESO che viene effettuata sotto il rischio neutrale misura Q, queste quantità sono calcolate in base alla misura P statistica dove: ds t ms t dt sigma (v, t) st dw P t, SS, e m è il tasso annualizzato di rendimento atteso sul titolo nel mondo reale (m è assunto costante). Utilizzando il rapporto chiave (3) (considerato sotto P), è facile vedere che le equazioni (7) - (8) si riducono a: e TP (T GTT) TP (TT) t dt P (T GTT) dt Teth ( su, u) du dt, (9) EP, SSTE, S e PTT h (st, t) dt STE, S e P ° (su, u) du h (st, t) st dt. (1) Falegnameria (1998), Huddart e Lang (1996), e Marquardt (1999) tutti danno i tempi previsti empiriche di esercizio e prezzi delle azioni medi al momento di esercizio per i loro campioni. Dati i valori dei parametri m, Sigma, S, T v, andt, si può calibrare l'esercizio o la decadenza intensità h t per i dati empirici utilizzando le equazioni (9) e (1). 3. L'occupazione a tempo Specification: un modello opzione passo per la valutazione OEN In questa sezione, restringiamo il setup discusso nella sezione precedente, con una vista verso l'ottenimento di soluzioni esplicite per le quantità di interesse. Non ci assumiamo la volatilità costante, cioè sigma (s, t) Sigma, e che l'opzione è investito, cioè t v (estendiamo al caso di opzioni che non sono ancora maturati alla fine di questa sezione). Consideriamo anche una particolarmente semplice specifica per l'esercizio o decadenza intensità: ht lambda f lambda e 1, (11) dove S t è il prezzo del titolo sottostante, K è il ESO s prezzo di esercizio, lambda f è l'intensità costante dei primi esercizio o decadenza a causa della cessazione esogena volontaria o involontaria di occupazione (assunto indipendentemente dal prezzo delle azioni), le stock option 7 dirigente in un'intensità BASATI sU QUADRO 217 e lambda e 1 è l'intensità costante del primo esercizio a causa esogena l'esecutivo s desiderio di liquidità o di diversificazione assunto positivo e costante se la ESO è in-the-money e zero altrimenti. Sotto queste ipotesi, l'iniziale (cioè t) OEN valore (4) semplifica a 3. C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TEQ, S e lambda ETAU K (T) (STK) (lambda f lambda e) e (rlambda f) t EQ, S e lambda ETAU K (t) (S t K) dt, (12) dove tau K (t) t 1 du è il tempo di occupazione della in-the-money regione fino al tempo t. Questa aspettativa può essere espresso come un portafoglio di up-AndOut opzioni step geometrica con knock-out tasso di lambda e e knock-out barriera pari allo sciopero: C (SK, T lambda f, lambda e) e lambda f TC lambda e ( ST, K, K) (lambda F lambda e) e lambda ft C lambda e (S t, k, k) dt, (13) dove C lambda e (S t, k, k) è il valore di un up - e-out chiamata passo geometrica con prezzo d'esercizio K, knock-out tasso lambda e, knock-out barriera K, e la maturità t (vedi Linetsky (1998, 1999)): C lambda e (S t, k, k) e rt EQ, S e lambda ETAU K (t) (S t K). (14) Il payoff a scadenza t di una chiamata geometrica passo può essere interpretato come quello di una chiamata standard, tranne che la quota nozionale sottostante è dipendente dal percorso, in quanto dipende dal tempo di occupazione al di sopra dello sciopero: e lambdatau K (t ). In altre parole, una chiamata passo geometrico perde una determinata frazione del suo nominale per unità di tempo sopra la barriera. Introdurre la seguente notazione: x: 1 sigma ln (SK), nu: 1 sigma (r Sigma 2 Allora l'aspettativa nell'equazione (14) si riduce a: 2), xi: R NU2 2. (15) C lambda e (S t, k, k) e (xilambda e) t Nux K lambdae (Sigma nu, x, t) lambdae (nu, x, t), (16) 3 si noti che la costante intensità decadenza lambda f viene aggiunta al tasso di sconto nell'equazione (12). Intuitivamente, la possibilità di decadenza abbassa il valore della ESO nello stesso modo come la possibilità di default abbassa il valore di un legame defaultable, e l'intensità di decadenza viene aggiunto al tasso privo di rischio come un credit spread. 8 218 PETER CARR e Vadim Linetsky in cui la funzione è definita come: Rho (k nu, x, t): E, xe NUW t Rho (t) 1, (17) dove l'attesa e, x è subordinata alla moto browniano W t partendo x a t e (t) t 1 du è il tempo di occupazione del negativo semiretta (,) fino al tempo t. 4 Questa aspettativa è calcolata in forma chiusa in Linetsky (1999). Per comodità del lettore s, la forma analitica esplicita della funzione è data in Appendice A. Così, equazioni (13) e (16) forniscono una soluzione analitica semplice per il valore ESO sotto la specifica (11) per l'intensità di esercizio e decadenza . L'orario previsto per l'esercizio o decadenza (9) in questa specifica è: T e (lambda f lambda e NUP 2 2) t nu P x lambdae (nu P, x, t) dt, (18) dove (ricordiamo che T e ST sono calcolati in base alla misura P statistico): nu P: 1 sigma (m Sigma 2 2). (19) Il prezzo delle azioni previsto al momento dell'esercizio o decadenza è: ST e (lambda f lambda e nu 2 P 2) T nu P x K lambdae (nu P Sigma, x, t) K e (lambda f lambda e nu 2 P 2) t nu P x lambda f lambdae (nu P Sigma, x, t) lambda e lambdae (nu P Sigma, x, t) dt. (2) Consideriamo ora il caso t v gt, vale a dire l'opzione non è ancora investito. Supponiamo che S v S (t v) è il prezzo delle azioni alla data di maturazione. Il valore ESO alla data di maturazione tv è dato da C (S v K, T TV lambda f, lambda e) definita dalla equazione (13) (si noti che il tempo di scadenza è ora pari a T TV, quindi abbiamo bisogno di sostituire TT tv nell'equazione (13)). Quindi il valore di ESO al tempo t viene calcolato prendendo il aspettativa: C (S, K, tv, t lambda f, lambda e) e (rlambda f) TV C (S v K, T TV lambda f, lambda e) p Q (S v, TV S,) dS v, (21) 4 Per lo sfondo su tempi di occupazione e altri funzionali dei processi di movimento e di diffusione browniano, così come i calcoli Feynman-Kac-tipo delle loro leggi, vedi Karatzas e Shreve ( 1992), Borodin e Salminen (1996) e Revuz e Yor (1994). 9 STOCK OPTION EXECUTIVE in un quadro INTENSITA 'A BASE 219, dove p Q è il (lognormale) densità di probabilità del prezzo delle azioni alla data di maturazione, dato il noto prezzo delle azioni di oggi (al tempo t): (S v, TV S,) exp S microtv, micro R Sigma 2 S v 2pisigma2 tv 2sigma 2 TV 2. (22) 4. il browniano Area Specification: un'opzione Modello Area per la valutazione OEN Come nella sezione precedente, per prima cosa si supponga che l'opzione è già investito, cioè tv. Sotto la specifica tempo di occupazione, l'intensità di esercizio o la decadenza è costante sopra lo sciopero. Un'alternativa analiticamente trattabili è: ()) HT lambda f lambda e K In questo caso, il primo termine a causa di cessazione volontaria o involontaria di occupazione è ancora indipendente (ln S t ln K) St lambda f lambda e (ln (23). del prezzo delle azioni, ma il secondo termine a causa del desiderio di liquidità o di diversificazione è ora una funzione crescente del moneyness S t K se l'ESO è in-the-money e zero altrimenti (x denota la parte positiva di x). Una specifica simile per il tasso di rischio di default è stato utilizzato da Davydov, Linetsky, e Lotz (1998) per modellare credito debito societario rischioso il valore ESO acquisito (4) in questa specifica prende la forma:.) C (SK, T lambda F, lambda e) e (rlambda f) TEQ, S exp (lambda e (ln S t ln K) dt (STK) t) e (rlambda f) t EQ, S exp (lambda e (LNS u LNK) du () St . lambda f lambda e ln (S t K) dt (24) K Per calcolare questa aspettativa, per prima cosa notare che il processo di prezzo delle azioni può essere rappresentato come: S t Ke sigma (nutw t), (25) dove W t è un moto browniano partire da x (definito nella (15)) al tempo t. Poi a causa di teorema Girsanov s: C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TE, xe nu (w T x) NU2 2 T sigmalambda e W t dt (Ke sigmaw TK) e (rlambda f) t e, xe nu (WTX) NU2 2 t sigmalambda te W u du lambda f sigmalambda e W t 10 22 PETER CARR e Vadim Linetsky (Ke sigmaw t K) dt e (xilambda f) T Nux K sigmalambdae (Sigma Nu, x , t) sigmalambdae (nu, x, t) e Nux K e (xilambda f) t lambda f sigmalambdae (Sigma nu, x, t) sigmalambdae (Sigma nu, x, t) lambda f sigmalambdae (NU, x, t) sigmalambda e nu sigmalambdae (nu, x, t) sigmalambda e dt, (26) nu dove abbiamo introdotto la seguente notazione: alpha (NU k, x, t): e, xe NUW t alphaa t 1, (27) A t : t W u du. (28) L'A t funzionale si chiama zona browniano fino al momento t (vedi Perman e Wellner, 1996). È uguale all'area (casuale) sotto la parte positiva di un percorso del campione browniano da zero al tempo t. L'attesa in equazione (27) è calcolato Davydov, Linetsky, e Lotz (1998) attraverso il Feynman-Kac teorema: alpha (k nu, x, t) e Nuy E, xe alphaa G V dy KKE nuy L 1 t dy, (29) dove l'attesa all'interno della integrale è espressa come l'inverso di Laplace in s della alfa G kernel resolvent (x, ys). La sua forma analitica è data in Appendice B. 5 L'orario previsto per l'esercizio o di decadenza ai sensi della presente specifica è: T e (lambda f NUP 2 2) t nu P x sigmalambdae (nu P, x, t) dt, (3), dove nu P è data dall'equazione (19). Il prezzo delle azioni previsto al momento dell'esercizio o decadenza è il seguente: 5 Il calcolo di questo funzionale è vicino in spirito ai calcoli di Geman e Yor (1993) per le opzioni asiatici e Geman e Yor (1996) per le opzioni a doppia barriera e si basa sulla formula Feynman - Kac. 11 STOCK OPTION Dirigente un'intensità BASATI SU QUADRO 221 ST e (lambda f NUP 2 2) T nu P x K sigmalambdae (nu P Sigma, x, t) K e (lambda f NUP 2 2) t nu P x lambda f sigmalambdae (nu P Sigma, x, t) sigmalambda e sigmalambdae (nu P Sigma, x, t) nu P dt. (31) Il caso t v gt, vale a dire l'opzione non è ancora maturate, è trattata in modo simile a equazione (21). 5. Esempi numerici per illustrare i nostri modelli, si consideri un dieci anni ESO concesso in-the-money 6 (S K 1) e acquisiti immediatamente (t v). Partiamo dal presupposto che il titolo sottostante ha volatilità del 3 per anno, non paga dividendi, il tasso privo di rischio è del 5 per anno, e il tasso percentuale annualizzato di rendimento atteso sul titolo nell'ambito della misura P statistica è m 15 per anno (ricordiamo che il tempo previsto di esercizio o di decadenza e il prezzo del titolo previsto al momento dell'esercizio o decadenza sono calcolati in applicazione della misura statistica). Tabelle I e II danno il valore ESO alla data di assegnazione, l'orario previsto di esercizio o di decadenza, e il prezzo del titolo previsto al momento dell'esercizio o decadenza come funzioni dei parametri del processo di punto lambda f e lambda e sotto l'occupazione indicazione del tempo (11) e la specifica zona browniano (23), rispettivamente. Per lambda f lambda e, il valore ESO è uguale al decennale del valore di Black-Scholes, il tempo di esercizio previsto è uguale alla scadenza ESO (dieci anni), e il prezzo delle azioni previsto al momento di esercizio è pari a E 1m S (senza esercizio anticipato o decadenza). Come i tassi lambda F e lambda e incremento, il valore ESO, tempo di esercizio o decadenza previsto e il prezzo del titolo previsto al momento dell'esercizio o decadenza tutto diminuzione. Dato T e S T, si può calibrare i nostri modelli sostenendo l'intensità Parametri lambda F e lambda e, e OEN valore con questi valori di parametro. Carpenter (1998) riporta che i tempi medi di esercizio per 1 anno OEN a suo campione sono circa 5,8 anni, con il prezzo medio magazzino al momento di esercizio di circa 2,8 volte il prezzo di esercizio ESO. Marquardt (1999), che studia un altro campione di imprese che concedono ESO, riferisce che i tempi medi di esercizio per 1 anno OEN a suo campione sono circa 5,6 anni, con il prezzo medio magazzino al momento di esercizio di circa 2,2 volte il prezzo sciopero ESO . Così, empiricamente, i tempi tipici di esercizio sono nel range 5-6 anno, con il prezzo delle azioni al momento dell'esercizio di due o tre volte lo sciopero ESO. Si consideri un esempio del modello di tempo di occupazione con lambda f 8 annuo e lambda e 12 all'anno. Il tempo di esercizio previsto per queste intensità è 4,99 anni, con il prezzo delle azioni previsto al momento dell'esercizio di 2,31 volte la ESO 6 Marquardt (1999) ha trovato che 85 delle 987 OEN nel suo campione sono stati emessi con dieci anni alla scadenza. Lei afferma che la maggior parte sono emessi con strike pari al prezzo delle azioni al momento dell'assegnazione. 12 222 PETER CARR e Vadim Linetsky tabella I. occupazione a tempo modello. valori ESO, attesi i tempi di esercizio o decadenza e prezzi delle azioni previste al momento dell'esercizio o decadenza come funzioni della intensità parametri lambda F e lambda e. Parametri: K 1, S 1, T 1 anni, sigma .3, R 0,5, m 0,15, tv, no dividendi lambda e lambda f valore ESO atteso esercizio o decadenza tempo (anni) atteso del prezzo delle azioni al momento dell'esercizio o decadenza relativi a colpire 13 STOCK OPTION Dirigente un'intensità BASATI SU QUADRO 223 Tabella II. Area Model. valori ESO, attesi i tempi di esercizio o decadenza e prezzi delle azioni previste al momento dell'esercizio o decadenza come funzioni della intensità parametri lambda F e lambda e. Parametri: K 1, S 1, T 1 anni, sigma .3, R 0,5, m 0,15, tv, no dividendi lambda e lambda f valore ESO atteso esercizio o decadenza tempo (anni) atteso del prezzo delle azioni al momento dell'esercizio o decadenza relativi a colpire 14 224 PETER CARR e Vadim Linetsky sciopero. Il valore ESO corrispondente a questi parametri è, invece, il metodo di valutazione FASB consigliato è quello di utilizzare la formula di Black Scholes europeo dei prezzi delle chiamate. La maturità utilizzato in questa formula può essere sia la data di scadenza (dieci anni in questo caso) o di una stima della vita attesa (4,99 anni in questo caso). Il valore di Black-Scholes corrispondente di una chiamata dieci anni è che è 56.38 superiore al valore previsto dal nostro modello. Il valore di Black-Scholes di una chiamata 4,99 anni è 35.92, 6.87 superiore al valore previsto dal nostro modello. Così, i valori ESO calcolati secondo il modello di intensità-based sono significativamente inferiori rispetto ai corrispondenti valori di Black-Scholes, che rappresentano il comportamento ottimale del potere esecutivo. Ciò ha importanti implicazioni contabili. Se si dovesse valutare OEN ai fini contabili che utilizzano il modello di Black-Scholes, come raccomandato dal FASB, si potrebbe sovrastimare notevolmente i loro costi reali agli azionisti e ingiustamente penalizzare le imprese che conferiscono OEN. 6. Conclusioni e indicazioni per la futura ricerca Il contributo di questo lavoro è duplice. In primo luogo, abbiamo sviluppato un quadro di intensità a base stocastica generale per la valutazione delle stock options esecutivi. In secondo luogo, vi suggeriamo due specifiche analiticamente trattabili per l'intensità di esercizio e di decadenza. Entrambe le specifiche hanno la forma (supponendo che l'ESO è investito): HT lambda f lambda e phi (st) 1, dove lambda f è l'intensità di Poisson costante di esercizio anticipato o di decadenza a causa di cessazione del lavoro volontario o involontario presto, e lambda e phi (st) 1 è l'intensità esercizio anticipato a causa di desiderio esecutivo s per la liquidità e la diversificazione. Quest'ultimo intensità è positivo solo se l'opzione è in-the-money. Sotto la prima specifica, phi (s) 1. Questo porta al modello di tempo di occupazione analiticamente trattabili per OEN, in cui la probabilità di esercizio anticipato a causa di desiderio esecutivo s per la liquidità o di diversificazione dipende dal tempo di occupazione della regione in-themoney . Sotto il secondo specifica, phi (s) ln S ln K, che porta al modello di zona browniano analiticamente trattabili. Entrambe le specifiche riflettono il fatto che ci sono due fattori economici distinti che influenzano la decisione di esercizio esecutivo. Questi sono il desiderio esecutivo s per la liquidità o di diversificazione che induce solo esercizio, quando l'opzione è acquisito e in-the-money, e la possibilità di risoluzione volontaria o involontaria del lavoro (questo è altrettanto probabile che quando l'opzione è in - o out-of - la-denaro e si presume essere indipendente dal prezzo del titolo). Noi sosteniamo che la nostra specifica con due parametri di intensità separati fornisce una descrizione più completa della situazione economica a portata di mano di lavoro precedente 7 che modella esercizio anticipato e decadenza come derivanti da un processo di Poisson con una sola costante parametro intensità indipendentemente dal prezzo delle azioni. 7 Cfr Shimko (199) e Jennergen e Naslund (1993) per il caso particolare del nostro modello con lambda e. 15 STOCK OPTION EXECUTIVE in un quadro INTENSITA 'A BASE DI 225 I nostri risultati possono essere ulteriormente estesi in diversi modi. In primo luogo, in pratica, le imprese a volte ripristinate le condizioni di precedentemente rilasciato OEN, soprattutto quando in calo i prezzi delle azioni hanno spostato l'opzione deep out-of-the-money. In un lavoro recente interessante, Brenner, Sundaram, e Yermack (1998) sviluppare un modello per valutare OEN, che rappresenta la possibilità di repricing. Repricing coinvolge specificando un nuovo prezzo di esercizio, quando il prezzo delle azioni diminuisce in modo significativo. 8 Quando l'opzione è repricing, viene specificato il nuovo prezzo di esercizio (in pratica, il nuovo sciopero è spesso posta pari all'allora-prezzo corrente, vale a dire l'opzione è riscritto at-the-money). Brenner, Sundaram e Yermack (1998) Si noti che, ignorando la possibilità di esercizio anticipato o decadenza, un ESO cui prezzo di esercizio K cambierà a K la prima volta che il prezzo delle azioni scende al di sotto di un pre-specificato barriera B, può essere valutata come un portafoglio di una chiamata down-and-out con il K prezzo di esercizio (strike vecchia) e una down-and-in chiamata con il K sciopero (nuovo sciopero). Poi le formule di valutazione delle opzioni barriera standard, sono utilizzate per valutare l'ESO (vedi Rubinstein e Reiner (1991), per esempio). Il nostro approccio alla modellazione precoce esercizio e decadenza può essere estesa a OEN oggetto di repricing in questo modo con l'aggiunta di una barriera inferiore alla nostra analisi. Consistent with our approach to modeling forfeiture and early exercise, an alternative approach to modelling repricing is to assume that it occurs at the first jump time of a point process, with some intensity dependent on the stock price. One possible (and analytically tractable) choice would be: h t lambda r 1 , where H is some barrier set at or below the strike K, andlambda r is constant. We note that the model of Brenner, Sundaram, and Yermack (1998) arises as a special case of this framework by letting lambda r approach infinity. A second possible (and analytically tractable) choice for the specification of the repricing intensity would be: h t lambda r (ln H ln S t ) , where again H K, andlambda r is constant. As in the first specification, the probability of repricing in this model is zero if the option is in-the-money and positive when the option is out - of-the-money. Now, however the probability of repricing increases as the stock price declines below the barrier H. Second, our methodology can be extended to indexed ESOs. Johnson and Tian (1999) design and develop a pricing model for an ESO with a strike price indexed to a benchmark index. The indexed option filters out common risks beyond the executive s control, thereby increasing the efficiency of incentive contracts by focusing them on the relative performance of the company stock relative to a benchmark. Johnson and Tian (1999) derive the ESO pricing formula based on 8 The empirical evidence in Chance, Kumar, and Todd (1999) suggests that ESOs are usually repriced when the stock declines by about 25 16 226 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Margrabe s (1978) exchange option formula, ignoring the effects of early exercise and forfeiture. Our approach can be used to relax the latter assumption. A third extension of this line of research would involve valuing ESOs of companies which pay sizeable dividends. Formally, this is an extension of our results to time and stock price dependent intensity which becomes infinite if the stock price is above the critical stock price at an ex-dividend date. This extension would be most relevant for firms such as utilities which typically have large dividends and low volatilities. Finally, our methodology can be applied to value other assets. For example, it is well known that mortgages are not usually prepaid optimally and that companies often call their debt late. Potential explanations for late calling include bounded rationality, signalling phenomena, or agency costs. The latter two explanations account for the realistic possibility that the decision depends on private as well as public information. A model in which the probability of prepayment or call depends on the interest rate (and stock prices in the case of callable convertibles) might tractably capture the behavior of investors or managers more reliably than requiring that decisions be based on publicly available information. In general, the implications for asset pricing of optimizing behavior based on both public and private information is a fascinating avenue for future research. Appendix A. The expectation E, x e nuw T rho (T ) 1 Let tltt. Introduce the following notation: d 1 d 3 d 5 d 7 k x nut T, d 2 d 1 sigma T, k x nut T, d 4 d 3 sigma T, k x nut t, d 6 d 5 sigma t, k nut t, d 8 d 7 sigma t, C 1 1 x2 T t nux, C 2 t 12 C 1 t 32 xk, C 3 C 1 sigmax. Then the function rho (nu k, x,t ) E x e nuw T rho (T ) 1 (Linetsky, 1999): is given by 17 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 227 Region I: k andx rho I nu2 (nu k, x,t ) enux 2 T N(d 1 ) e nux nu2 2 T N(d 3 ) Region II: k andx 9 II rho (nu k, x,t ) Region III: k andx III rho e nux (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 e x2 2(T t)dt (nu k, x,t ) rho I (nu, x,t) e rhot rho II ( nu k, x, t ) Region IV: k andx where IV rho N(x) 1 2pi x II rho nun(d5 ) t 12 N (d 5 ) dt nuc1 N(d 7 ) C 2 N (d 7 ) ( nu, x, t ) (nu k, x,t ) II rho (nu, x,t) e rhot rho I ( nu, x, t ) ( nu k, x, t ), I rho e z2 2 dz, N (x) dn(x) dx is the cumulative standard normal and its density. B. The expectation E, x e nuw t alphaa t 1 Introduce the following notation: 1 2pi e x2 2 y 1 (2alpha) 23 (2s 2alphay), y 2 (2alpha) 23 2s, y 3 (2alpha) 23 (2s 2alphax), W plusmn 2sAi(y 2 ) plusmn (2alpha) 13 Ai (y 2 ), V 2sBi(y 2 ) (2alpha) 13 Bi (y 2 ), where Ai(z) and Bi(z) are Airy functions defined by (Abramowitz and Stegun, 1965): Ai(z) 1 ) cos (uz u3 du, pi 3 Bi(z) 1 ) ) exp (uz u3 sin (uz u3 du. pi For k , the function rho II (nu, x,t) is defined as a limit of the integral for k. rho II(nu, x,T) lim k rho II (nu k, x, T ). 18 228 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Then the function G alpha (x, y s) entering the expression (29) and defined as the Laplace transform e st E, x e alphaa t W t dy dt G alpha (x, y s)dy is given by (Davydov et al. 1998): Region I: x y G I alpha (x, y s) 2Ai(y 1) e 2sx, W Region II: x y ( G II 1 alpha (x, y s) e 2s(x y) W ) e 2s(xy), 2s W Region III: y x G III alpha (x, y s) GII(y, x s), Region IV: y x G IV alpha (x, y s) GI alpha (y, x s), Region V: y x G V alpha (x, y s) 2piAi(y 3) (2alpha) 13 Region VI: x y alpha Bi(y 1 ) V Ai(y 1 ), W G VI alpha (x, y s) GV alpha (y, x s). The Airy functions are computed using the asymptotic expansions found in Abramowitz and Stegun (1965). To compute the inverse Laplace transform in Equation (29) numerically, we employ the Euler algorithm developed by Abate and Whitt (1995). This algorithm was previously applied to option pricing problems by Fu, Madan, and Wang (1998) and Davydov and Linetsky (1998). Then the integral in y in (29) is calculated numerically. Finally, (26) gives the ESO value under the forfeiture and early exercise intensity specification (23). References Abate, J. and Whitt, W. (1995), Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions, ORSA Journal of Computing 7, Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (1965), Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York. Akahori, J. (1995), Some formulae for a new type of path-dependent option, The Annals of Applied Probability 5(2), 19 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 229 Black, F. and Scholes, M. 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It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Se si verificano problemi durante il download di un file, controllare se si dispone l'applicazione corretta per vederlo prima. In caso di ulteriori problemi leggi le Idee Assistenza pagina. Si noti che questi file non sono sul sito IDEE. Si prega di essere paziente, come i file possono essere di grandi dimensioni. Come l'accesso a questo documento è limitato, si consiglia di cercare una diversa versione in fase di ricerca correlati (più avanti) o la ricerca di una versione diversa di esso. Article provided by European Finance Association in its journal Review of Finance . Volume (Year): 4 (2000) Issue (Month): 3 () Pages: 211-230 Find related papers by JEL classification: G13 - Financial Economics - - General Financial Markets - - - Contingent Pricing Futures Pricing G39 - Financial Economics - - Corporate Finance and Governance - - - Other M41 - Business Administration and Business Economics Marketing Accounting Personnel Economics - - Accounting - - - Accounting No references listed on IDEAS You can help add them by filling out this form. Citations are extracted by the CitEc Project. subscribe to its RSS feed for this item. This item is not listed on Wikipedia, on a reading list or among the top items on IDEAS. 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The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of. This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Keywords: Brownian area early exercise executive stock options Feynman-Kac formula forfeiture Laplace transform occupation time point processes with random intensity Journal Article. 0 words. Subjects: Financial Law Financial Institutions and Services Financial Markets Full text: subscription required